درسنامه آموزشی فصل دوم هندسه (2) کلاس یازدهم ریاضی

1- به تصویر زیر دقت کنید.

اگر چهارضلعی‌های 1، 2 و 3 را تبدیل یافتهٔ چهارضلعی رنگ شده بدانیم:
الف) کدام چهار ضلعی، انتقال یافتهٔ چهارضلعی رنگ شده است؟ چهار ضلعی 2 انتقال یافتهٔ چهارضلعی رنگ شده است.
ب) کدام چهارضلعی بازتاب چهارضلعی رنگ شده است؟ چهار ضلعی 3 بازتاب چهارضلعی رنگ شده است.
پ) کدام شکل، دوران یافتهٔ شکل رنگ شده است؟ چهار ضلعی 1 دوران یافتهٔ چهارضلعی رنگ شده است.

2- الف) بازتاب شکل زیر را نسبت به خط $d$ رسم کنید.
(توضیح دهید که چگونه این کار را انجام می‌دهید. در این حالت خط $d$ نسبت به پاره‌خطی که هر نقطه را به تصویرش نظیر می‌کند، چه وضعیتی دارد؟)

از هر رأس مثلث بر خط $d$ عمودی رسم می‌کنیم و سپس به اندازه‌ی آن پاره‌خط امتداد می‌دهیم تا تصویرش به‌دست آید. ($AM = A'M\,,\,BN = B'N\,,\,CM = C'M$) سپس نقاط تصویر یعنی $A'$، $B'$ و $C'$ را به هم وصل می‌کنیم. مثلث $A'B'C'$ بازتاب مثلث $ABC$ است.
خط $d$ عمودمنصف پاره‌خطی است که هر نقطه را به تصویرش وصل می‌کند.

ب) آیا این تبدیل، موقعیت شکل اولیه را تغییر می‌دهد؟ اندازه‌ها را چطور؟
موقعیت شکل را تغییر می‌دهد اما اندازه‌ها را تغییر نمی‌دهد.

پ) آیا در این تبدیل، شیب هر پاره‌خط با شیب پاره‌خط متناظر در تصویر آن برابر است؟
خیر شیب پاره‌خط $BC$ با شیب پاره‌خط متناظرش $B'C'$ برابر نیست.

ت) آیا حالتی وجود دارد که بازتاب، شیب‌خط را حفظ کند؟
اگر خط مورد نظر موازی یا عمود بر محور بازتاب باشد آنگاه شیب آن حفظ می‌شود.
در شکل بالا همانطور که می‌بینیم پاره‌خط $AC$ بخشی از خط عمود بر خط $d$ است و تصویر آن نیز روی همان خط عمود قرار خواهد گرفت و به همین دلیل شیب پاره‌خط $A'C'$ با شیب پاره‌خط $AC$ برابر است.
اگر خط مورد نظر موازی محور بازتاب باشد تصویرش هم با آن موازی است پس هم شیب خواهند شد.

3- الف) تصویر شکل زیر را تحت انتقال با بردار $v$ رسم کنید (توضیح دهید که چگونه این کار انجام می‌دهید).
با توجه به بردار $v$ باید رأس‌های مربع را 5 واحد به سمت راست و 3 واحد به سمت پایین انتقال بدهیم تا نقاط تصویر به‌دست آیند. واضح است که باتوجه به شکل بردارهایی که هر نقطه را به تصویرش برده است با بردار $v$ برابر هستند. سپس نقاط تصویر را به ترتیب به هم وصل می‌کنیم. مربع $A'B'C'D'$ انتقال یافته‌ی مربع $ABCD$ تحت بردار $v$ است. 

در این حالت پاره‌خط هایی که هر نقطه را به تصویرش نظیر می‌کنند، نسبت به هم چه وضعیتی دارند؟
پاره خط‌هایی که هر نقطه را به تصویرش نظیر می‌کنند باهم موازی هستند.

ب) آیا این تبدیل، موقعیت شکل اولیه را حفظ می‌کند؟ اندازه‌ها را چطور؟ این تبدیل موقعیت شکل اولیه را حفظ نمی‌کند ولی اندازه‌ها را حفظ می‌کند.

پ) آیا در این تبدیل، شیب هر پاره‌خط با شیب پاره‌خط متناظر در تصویر آن برابر است؟ در این تبدیل، شیب هر پاره خط با شیب پاره خط متناظر در تصویرش برابر است.

ت) آیا با انجام این تبدیل اندازه زاویه‌ها ثابت می‌ماند؟ در این تبدیل زاویه بین خطوط در شکل و تصویر متناظر آن حفظ می‌شود.

4- در سال های گذشته دیدید که برای دوران دادن هر شکل به مرکز دوران $O$ و به اندازهٔ زاویهٔ $\alpha $، کافی است هر نقطه از شکل، مثل نقطهٔ $A$ را به مرکز دوران یعنی $O$ وصل کنیم؛ سپس در جهت خواسته شده به کمک $OA$ زاویه‌ای برابر $\alpha $ رسم، و روی ضلع دیگر این زاویه پاره‌خطی به اندازهٔ $OA$ جدا کنیم تا نقطهٔ $A'$ به‌دست آید.

می‌خواهیم نشان دهیم هر تبدیل طولپا اندازهٔ زاویه را حفظ می‌کند.
فرض کنید $T$ تبدیلی طولپاست.

و داریم:

$T(A) = A'$
$T(B) = B'$
$\widehat {AOB} = \alpha $ و $T(O) = O'$

دلیل همنهشتی دو مثلث $OAB$ و $O'A'B'$ را بنویسید و از آنجا برابری زاویه‌های $AOB$ و $A'O'B'$ را نتیجه بگیرید.

چون این تبدیل طولپا است پس داریم:

$\left. \begin{gathered}
  AB = A'B'  \\
  OA = O'A'  \\
  OB = O'B'  \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow O\mathop A\limits^\Delta  B \cong O'\mathop {A'}\limits^\Delta  B' \to \widehat {AOB} = \widehat {A'O'B'} = \alpha $

می‌خواهیم با استدلال دقیق‌تری نشان دهیم بازتاب، تبدیلی طولپا است. حالت‌های مختلف یک پاره‌خط را نسبت به خط بازتاب $d$ در نظر می‌گیریم و در حالت نشان می‌دهیم که اندازهٔ پاره‌خط با اندازهٔ تصویر آن برابر است.

الف) ابتدا مسئله را برای حالتی در نظر می‌گیریم که $AB$ با خط $d$ موازی است. بازتاب $A$ و $B$ را نسبت به خط $d$ پیدا می‌کنیم و آن را $A'$ و $B'$ می‌نامیم.

چهار ضلعی $ABA'B'$ چهارضلعی است؟ چرا؟

طول پاره‌خط‌های $AB$ و $A'B'$ نسبت به هم چگونه‌اند؟

ب) حال فرض می‌کنیم که فقط یکی از نقاط انتهایی پاره‌خط داده شده روی خط بازتاب باشد.
(اگر هر دو نقطهٔ ابتدا و انتهای پاره‌خط داده شده روی خط بازتاب باشد، اثبات بدیهی است؛ چرا؟)
خوب در این حالت بازتاب پاره‌خط $MA$ بر روی خط و بر روی خط و بر روی خودش منطبق است.

$S(M) = M\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,S(A) = A \Rightarrow MA = MA$

بازتاب $A$ نسبت به خط $d$، نقطهٔ $A'$ و بازتاب $M$، خود $M$ است.
به عبارتی: $S(A) = A'$ و $S(M) = M$

آیا می‌توانید به کمک هم نهشتی مثلث‌ها، دلیلی برای تساوی $MA = MA'$ ارائه کنید؟

$\left. \begin{gathered}
  AH = A'H \hfill \\
  {{\hat H}_1} = {{\hat H}_2} = {90^ \circ } \hfill \\
  MH = MH \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \to M\mathop A\limits^\Delta  H \cong M\mathop {A'}\limits^\Delta  H \to MA = MA'\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\widehat {AMH} = A'MH$

آیا می‌توانید این تساوی را به روش دیگری نشان دهید؟ (از خاصیت عمود منصف یک پاره‌خط کمک بگیرید.)

$MA = MA'$

پ) در حالتی که پاره‌خط $AB$ با خط بازتاب $d$، نه موازی و نه متقاطع باشد، پاره‌خط $AB$ را امتداد می‌دهیم تا خط بازتاب را در نقطهٔ $M$ قطع کند.
نقطه $B'$ بازتاب نقطه $B$ را نسبت به خط بازتاب پیدا،‌ و پاره‌خط $MB'$ را رسم می‌کنیم. ادعا می‌کنیم که تصویر نقطه $A$ نیز روی خط $MB'$ واقع می‌شود؛ چرا؟

با توجه به قسمت (ب) می‌دانیم که $MB = MB'$ پس مثلث متساوی الساقین است و چون خط $d$ عمودمنصف $BB'$ است با توجه به قضایای متساوی الساقین $d$ نیمساز زاویهٔ $BMB'$ نیز هست. بنا براین: ${\hat M_1} = {\hat M_2}$.

از نقطهٔ $A$ موازی پاره‌خط $BB'$ خطی رسم می‌کنیم تا $MB'$ را در نقطهٔ $A'$ قطع کند حالا باید ثابت کنیم که $A'$ تصویر نقطهٔ $A$ نسبت به خط بازتاب $d$ است یعنی:

$AH' = A'H'\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,{H'_1} = {H'_2} = {90^ \circ }$

در مثلث $MAA'$ پاره‌خط $MH'$ هم نیمساز است و هم ارتفاع پس مثلث متساوی الساقین است. و در نتیجه $MH'$ میانه نیز هست پس: $AH' = A'H'$

حال داریم:

$\left. \begin{gathered}
  AB = MB - MA \\
  A'B' = MB' - MA' \\
  MB = MB'\,\,,\,\,MA = MA' \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow AB = A'B'$

ت) در حالتی که پاره‌خط $AB$ خط بازتاب را در نقطه‌ای مثل $M$ قطع کند، بازتاب نقطه $A$ را نسبت به خط $d$ پیدا می‌کنیم و آن را نقطه ${A'}$ می‌نامیم.
پاره‌خط $MA'$ را رسم می‌کنیم و امتداد می‌دهیم و ادعا می‌کنیم که بازتاب نقطه $B$ یعنی نقطه $B'$ هم بر امتداد $MA'$ واقع است؛ چرا؟

$H$ وسط $BB'$ و $H'$ وسط $AA'$ است بنا بر تعریف بازتاب نقاط $H$ و $H'$ روی خط $d$ یعنی خط بازتاب هستند. با توجه به بند (ب) خط $d$ نیمساز زاویه‌های $BMB'$ و $AMA'$ است.

$\left. \begin{gathered}
  \widehat {AMA'} = \widehat {BMH} \hfill \\
  \widehat {A'MH'} = \widehat {AMH'} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \left. \begin{gathered}
  \widehat {A'MH'} = BMH \hfill \\
  \widehat {B'MH} = \widehat {BMH} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \widehat {B'MH} = \widehat {A'MH'}$

یک ضلع ($MH$ و $MH'$) و رأس این دو زاویه برهم منطبق است پس اضلاع دیگر هم یعنی $MA'$ و $MB'$ بر هم منطبق هستند.

حال داریم:

$\left. \begin{gathered}
  AB = AM + MB \hfill \\
  A'B' = A'M + B'M \hfill \\
  MB = MB'\,\,,\,\,AM = A'M \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow AB = A'B'$

تذکر: حالتی که پاره‌خط $AB$ بر خط بازتاب عمود است، به‌عنوان تمرین به شما واگذار شده است.

می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا بازتاب، شیب خط را هم حفظ می‌کند.
مسئله را برای سه حالت کلی در نظر می‌گیریم: وقتی خط داده شده با خط بازتاب موازی باشد، وقتی عمود باشد و وقتی نه عمود باشد و نه موازی.

الف) اگر خط $n$ موازی خط بازتاب $d$ باشد، تصویر آن را تحت بازتاب، خط $n'$ می‌نامیم. خطوط $n$ و $n'$ نسبت به هم چه وضعی دارند؟ چرا؟

خط $n$ موازی خط بازتاب $d$ است. دو نقطهٔ دلخواه مانند $A$ و $B$ را روی $n$ انتخاب می‌کنیم. بنا بر قسمت (الف) فعالیت قبل می‌دانیم که تصویر پاره‌خط $AB$ نسبت به خط بازتاب $d$ یعنی پاره‌خط $A'B'$ با پاره‌خط $AB$ و خط $d$ موازی است از طرفی چون خط $n'$ تصویر خط $n$ است پس حتماً نقاط $A'$ و $B'$ نیز روی خط $n'$ قرار دارند در نتیجه خط $n'$ موازی $n$ و $d$ است.

آیا در این حالت بازتاب، شیب خط را حفظ می‌کند؟

وقتی دو خط موازی باشند در صورت وجود شیب، شیب‌ها با هم برابرند پس شیب حفظ می‌شود و وقتی که شیب برای یکی از آن‌ها تعریف نشود برای دیگری نیز تعریف نمی‌شود. پس در این حالت بازتاب شیب‌خط را حفظ می‌کند.

ب) اگر خط $n$ برخط بازتاب $d$ عمود باشد، تصویر آن تحت بازتاب چگونه خواهد بود؟ آیا در این حالت بازتاب، شیب خط را حفظ می‌کند؟ 

پ) اگر خط $n$ با خط بازتاب $d$ عمود و موازی نباشد، خط‌های $d$، $n$ و $n'$ در نقطه‌ای مثل $M$ متقاطع می‌شوند؛ پس $n$ و $n'$ موازی نیستند و در این حالت بازتاب، شیب خط را حفظ نمی‌کند بنابراین؛

1- می‌خواهیم نشان دهیم انتقال، تبدیل طولپاست.
الف) اگر پاره‌خط دلخواه $AB$ با بردار $\overrightarrow v $ موازی نباشد، تبدیل یافتهٔ $AB$ را بردار $\overrightarrow v $ رسم کنید و آن را $A'B'$ بنامید و نشان دهید: $AB = A'B'$.
راهنمایی: می‌دانیم که اگر در یک چهارضلعی، دو ضلع روبه‌رو موازی و مساوی باشند، آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.

$A'$ تصویر $A$ است پس بنا به تعریف انتقال $\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v $ یعنی پاره‌خط $AA'$ مساوی طول بردار $\overrightarrow v $ و با آن موازی است.
$B'$ تصویر $B$ است پس بنا به تعریف انتقال $\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow v $ یعنی پاره‌خط $BB'$ مساوی طول بردار $\overrightarrow v $ و با آن موازی است.
در نتیجه $AA'$ موازی و مساوی $BB'$ است و بنا بر راهنمایی داده شده نتیجه می‌گیریم که چهارضلعی $AA'B'B$ متوازی‌الاضلاع است پس $AB = A'B'$.

ب) اگر پاره‌خط $AB$ با بردار $\overrightarrow v $ موازی باشد به کمک مجموع یا تفاضل پاره‌خط‌ها در دو حالت زیر نشان دهید: $AB = A'B'$

(1)

$\left. \begin{gathered}
  AB = AA' + A'B \\
  A'B' = A'B + BB' \\
  AA' = BB' \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow AB = A'B'$

(2)

$\left. \begin{gathered}
  AB = AA' - BA' \\
  A'B' = BB' - BA' \\ 
  AA' = BB' \\
 \end{gathered}  \right\} \Rightarrow AB = A'B'$

تذکر: در حالتی که طول بردار $v$ با پاره‌خط $AB$ برابر است به کمک هر یک از روش‌های فوق می‌توان درستی رابطه را نشان داد.

به عبارتی این قضیه نشان می‌دهد که انتقال، تبدیل طولپا است و برای هر دو نقطه $A$ و $B$ از صفحهٔ $P$ که $T(A) = A'$ و $T(B) = B'$ داریم: $AB = A'B'$

2- در هر یک از حالت‌های قبل نشان دهید انتقال، شیب‌خط را هم حفظ می‌کند.
در حالت (الف) نتیجه گرفتیم گه چهار ضلعی $AA'B'B$ متوازی‌الاضلاع است پس $AB||A'B'$ در نتیجه شیب‌خط‌ها یکی است.
در حالت (ب) و (پ) هر پاره‌خط و تصویرش بر روی یک خط قرار دارند به عبارتی نقاط $A$، $B$، $B'$ و $B$ هم خط هستند. پس شیب آن‌ها هم برابر است.

می‌خواهیم نشان دهیم دوران، تبدیلی طولپاست.
برای دوران دادن هر پاره‌خط نظیر $AB$ کافی است نقاط $A$ و $B$ را دوران دهیم تا نقاط $A'$ و $B'$ حاصل شود و پاره‌خط $A'B'$ را رسم کنیم.

مسئله را برای حالت‌های مختلف در نظر می‌گیریم:

الف) مرکز دوران $O$ بر پاره‌خط $AB$ و امتداد آن واقع نباشد و زاویهٔ دوران از زاویهٔ $\widehat {AOB}$ بیشتر باشد.

با توجه به شکل $ = \alpha $${O_2}$$ = {O_2} + $${O_2}$${O_1} + $

پس می‌توان مدعی شد که $\widehat {A'OB'}$$=$$\widehat {AOB}$

به کمک همنهشتی دو مثلث $OAB$ و $OA'B'$ نشان دهید $AB$ و $A'B'$ هم‌اندازه‌اند.

$\left. \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  OA = OA' \\
  OB = OB' \\ 
\end{gathered}  \right. \\
  \widehat {AOB} = \widehat {A'OB'} \\ 
\end{gathered}  \right\} \to A\mathop O\limits^\Delta  B \cong A'\mathop O\limits^\Delta  B' \to AB = A'B'$

ب) به‌طور مشابه نشان دهید که اگر $O$ بر پاره‌خط $AB$ واقع نباشد ولی زاویهٔ دوران از زاویهٔ $\widehat {AOB}$ کمتر باشد، باز هم تساوی $AB = A'B'$ برقرار است.

تذکر: در حالتی که $\widehat {AOB}$ با زاویه $\alpha $ برابر است با هر یک از روش‌های فوق می‌توان درستی رابطه را نمایش داد.

با توجه به شکل: 

$\left. \begin{gathered}
  \widehat {AOB} = \alpha  + \widehat {A'OB} \\
  \widehat {A'OB'} = \alpha  + \widehat {A'OB'} \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {A'OB'}$

در نتیجه:

$\left. \begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  OA = OA' \\
  OB = OB' \\ 
\end{gathered}  \right. \\
  \widehat {AOB} = \widehat {A'OB'} \\ 
\end{gathered}  \right\} \to A\mathop O\limits^\Delta  B \cong A'\mathop O\limits^\Delta  B' \to AB = A'B'$

پ) اگر نقطهٔ $O$ روی پاره‌خط $AB$ باشد:

$\left. \begin{gathered}
  AB = AO + OB \\
  A'B' = A'O + OB' \\
  AO = A'O\,\,,\,\,\,OB = OB' \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow AB = A'B'$

ت) به طریق مشابه نشان دهید اگر نقطهٔ $O$ روی امتداد پاره‌خط $AB$ باشد، حکم برقرار است.

$\left. \begin{gathered}
  AB = AO + OB \\
  A'B' = A'O - OB' \\
  AO = A'O\,\,,\,\,\,OB = OB' \\ 
\end{gathered}  \right\} \Rightarrow AB = A'B'$

1- این دو شکل، نمونه‌ای از تجانس را نشان می‌دهند که در یکی، مرکز تجانس داخل شکل اولیه و در دیگری خارج آن در نظر گرفته شده است.

الف) به کمک صفحه شطرنجی در هر شکل نسبت تجانس را مشخص کنید.

با توجه به تعریف تجانس نقاط $B$ و $B'$ در یک طرف $O$ قرار دارند پس $K \gt 0$ در نتیجه:

$OB' = K.OB \Rightarrow K = \frac{{OB'}}{{OB}} \Rightarrow K = \frac{{3\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow K = 3$ (بدون محاسبه دقیق هم به کمک صفحه شطرنجی واضح است که $OB'$ سه برابر $OB$ است.)

$OC' = K.OC \Rightarrow K = \frac{{OC'}}{{OC}} \Rightarrow K = \frac{{10}}{5} \Rightarrow K = 3$

ب) آیا تجانس طولپاست؟ چرا؟
خیر؛ زیرا اندازه پاره‌خط‌ها حفظ نمی‌شود.

پ) در این شکل‌ها، طول هر پاره‌خط را با طول تصویر آن مقایسه کنید. به چه نتیجه‌ای می‌توان رسید؟

در مربع: طول تصویر هر پاره‌خط 3 برابر شده و در واقع این عدد همان نسبت تجانس است. همچنین

$A'B' = 3AB\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,B'C' = 3BC$

$C'D' = 3CD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D'A' = 3DA$

در مثلث: طول تصویر هر پاره خط 2 برابر شده و در واقع این عدد همان نسبت تجانس است.

$AC = \sqrt {4 + 9}  = \sqrt {13} $

$A'C' = \sqrt {16 + 36}  = \begin{array}{*{20}{c}}
  {A'B' = 2AB} \\ 
  {\sqrt {52}  = 2\sqrt {13} } 
\end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
  {B'C' = 2BC} \\ 
  {A'C' = 2AC} 
\end{array}$

ت) مساحت هر شکل را با مساحت تصویر آن مقایسه کنید. چه نسبتی با هم دارند؟

در مربع: $\frac{{{S_{A'B'C'D'}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{36}}{4} = 9 = {3^2}$ در مثلث: $\frac{{{S_{A'B'C'}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \times 4 \times 6}}{{\frac{1}{2} \times 2 \times 3}} = 4 = {2^2}$

در نتیجه مساحت تصویر نسبت به مساحت هر شکل برابر با توان دوم نسبت تجانس است.

2- در هر دو حالت فوق، نسبت تجانس مقداری بیش از یک است؛ به عبارتی: $k \gt 1$. حال مسئله را برای مقادیر مختلف $k$ بررسی می‌کنیم.

الف) در هر حالت مراحل باقی‌مانده را کامل کنید.
از رأس‌های هر شکل به مرکز $O$ وصل می‌کنیم و به اندازه نسبت تجانس $K$ امتداد می‌دهیم. اگر $K$ مثبت باشد، نقطه و تصویرش در یک طرف نقطه $O$، و اگر $K$ منفی باشد، نقطه و تصویرش در دو طرف نقطه $O$ قرار دارند.

ب) با توجه به تصاویر بالا به‌طور شهودی، درستی یا نادرستی هر عبارت را مشخص کنید:

پ) شرط اینکه تجانس طولپا باشد، این است که $K = 1$ یا $K =  - 1$ به عبارتی $\left| K \right| = 1$

ت) خطوطی که هر نقطه را به تصویر آن نظیر می‌کند، یعنی خطوط $AA'$، $BB'$ و... نسبت به هم چه وضعی دارند؟ این خطوط در مرکز تجانس یعنی نقطه $O$ همرس‌اند.

ث) اگر $A'\mathop {B'}\limits^\Delta  C'$ مجانس $A\mathop B\limits^\Delta  C$ باشد، مرکز تجانس را چگونه می‌توان پیدا کرد؟

حال که به‌طور شهودی با تجانس و چگونگی عملکرد آن روی شکل‌های هندسی آشنا شدید با استدلال دقیق‌تری ثابت خواهیم کرد که تجانس تبدیلی است که در حالت کلی شیب خط و اندازهٔ زاویه را حفظ می‌کند.

می‌خواهیم نشان دهیم تجانس، شیب خط را حفظ می‌کند. برای این منظور، تجانس $D$، با مرکز تجانس $O$ و نسبت تجانس $k$ و خط $AB$ را در نظر می‌گیریم؛ دو حالت اتفاق می‌افتد:

الف) نقطهٔ $O$ روی خط $AB$ است.
حل: در این حالت بدیهی است که نقاط $A'$ و $B'$ مجانس‌های نقاط $A$ و $B$، روی خط $AB$ واقع می‌شوند؛ بنابراین $A'B'$ بر $AB$ واقع است و شیب خط تغییری نمی‌کند.

ب) نقطهٔ $O$ غیر واقع بر خط $AB$ است.
حل: در این صورت اگر نقاط $A'$ و $B'$ به ترتیب، مجانس‌های نقاط $A$ و $B$ باشند، طبق تعریف داریم:

$\left\{ \begin{gathered}
  OA' = k.OA \hfill \\
  OB' = k.OB \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = k$

(چرا؟)           $ \Rightarrow AB||A'B'$

می‌خواهیم نشان دهیم تجانس، اندازهٔ زاویه را حفظ می‌کند.
تجانس $D$ با مرکز تجانس $O$ و نسبت تجانس $k$ و زاویه $\widehat {ABC}$ را در نظر می‌گیریم. مجانس اسن زاویه، یعنی زاویه $\widehat {A'B'C'}$ را رسم می‌کنیم.
به کمک قضیهٔ قبل و شکل داده شده، ثابت کنید: $\widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}$.

با توجه به شکل و قضیه قبل داریم:

$AB||A'B'$ در نتیجه اگر خط $OB'$ مورب باشد بنا برقضیه خطوط موازی ${\hat B_1} = {\hat B'_1}$ (1)
$BC||B'C'$ ر نتیجه اگر خط $OB'$ مورب باشد بنا برقضیه خطوط موازی ${\hat B_2} = {\hat B'_2}$ (2)
در نتیجه از جمع دو طرف رابطه‌ی (1) و (2) داریم: ${\hat B_1} + {\hat B_2} = {\hat B'_1} + {\hat B'_2} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {A'B'C'}$

پیش از این دیدیم که اگر نقطه‌ای روی خط بازتاب باشد، تصویر آن بر خودش منطبق می‌شود؛ به عبارتی $A'$ همان $A$ است و داریم $S(A) = A' = A$؛ این نقاط را نقاط ثابت تبدیل نامیدیم. اما برخی از تبدیل‌ها، هر نقطۀ صفحه را به خود آن نقطه نظیر می‌کند؛ چنین تبدیل‌هایی را تبدیل همانی می‌نامیم.

معمولاً تبدیل‌های همانی را با $I$ نمایش می‌دهند؛ پس $I(A) = A$.

دقت کنید که در بازتاب به جز نقاطی که روی خط بازتاب قرار دارند، تصویر هر نقطه مثل $A$، نقطه‌ای مثل $A'$ است که در طرف دیگر خط بازتاب قرار دارد. بنابراین بازتاب هیچ‌گاه، تبدیل همانی نیست.

الف) در چه شرایطی انتقال، دوران و تجانس، می‌توانند تبدیل همانی باشند؟
انتقال در صورتی همانی است که بردار انتقال با بردار صفر برابر باشد.
دوران در صورتی همانی است که زاویه دوران صفر درجه یا 360 درجه باشد.
تجانس در صورتی همانی است که در آن $K = 1$.

ب) آیا تبدیل همانی طولپاست؟
بله؛ زیرا هر نقطه را به خود آن نقطه تصویر می‌کند. $T(A) = A\,\,\,,\,\,T(B) = B \Rightarrow AB = AB$

پ) توضیح دهید که در هر یک از تبدیل‌های زیر، آیا می‌توان نقاط ثابت تبدیل داشت؟
1- انتقال غیر همانی: خیر؛ زیرا هر نقطه باید تحت یک بردار غیرصفر در صفحه بلغزد؛ بنابراین، نمی‌تواند بر روی خودش بلغزد.
2- دوران غیر همانی: مرکز دوران تحت هر دورانی ثابت می‌ماند؛ پس نقطه ثابت تبدیل است.
3- تجانس غیر همانی: مرکز تجانس، تصویرش روی خودش قرار می‌گیرد؛ پس نقطه ثابت تبدیل است.